4 – Múltiplos e divisores de números naturais

1. Múltiplos
Para determinar os múltiplos de um número natural, multiplicamos esse número por todos os números naturais. Exemplo: Vamos determinar os múltiplos de 3.
Representação: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...}.
 
2. divisores
Como 3 × 4 = 12, sabemos que 12 é múltiplo de 3 e 4. Podemos então afirmar que 12 é divisível por 3 e por 4.
12 ÷ 3 = 4 12 ÷ 4 = 3
Ou seja, 3 e 4 são divisores de 12. A quantidade de divisores de 12 é finita. Para encontrar os divisores de 12, dividimos 12 pelos números naturais que resultam quocientes exatos.
Representação: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
 
3. Critérios de divisibilidade
Um número é divisível por outro se a divisão desse número pelo outro for exata, ou seja, se o resto da divisão for igual a zero. Exemplo: 12 é divisível por 3, pois 12 ÷ 3 = 4. resto zero
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Um número é divisível por 4 se os seus dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
Um número é divisível por 5 se seu último algarismo for igual a 0 ou 5.
Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Um número é divisível por 8 se seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.
Um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Um número é divisível por 10 se seu último algarismo for 0.
 
4. números primos
• Um número natural é primo quando tem exatamente dois divisores distintos: o número 1 e o próprio número.
• O número 1 não é primo, pois não apresenta dois divisores distintos.
• Um número que tem mais de dois divisores é chamado de número composto.
Os divisores primos de 36 são os números 2 e 3, que formam o conjunto {2, 3}.
 
Como reconhecer se um número é primo
Para identificar se um número é primo, testamos sucessivamente sua divisibilidade pelos números primos menor do que ele. Se nenhuma divisão for exata e se o resultado for um quociente menor ou igual ao divisor, então esse número é primo.
 
Decomposição de um número natural em fatores primos
Decompor um número em fatores primos é escrevê-lo como um produto de números primos. Para encontrar esses fatores, dividimos o número pelo seu menor divisor primo, em seguida dividimos o resultado pelo seu menor divisor primo, e assim sucessivamente, até obter quociente igual a 1.
Exemplos:
30 = 2 · 3 · 5
36 = 22 · 32
5. Máximo divisor comum (mdc)
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de Máximo Divisor Comum (mdc) desses números.
Exemplo: Vamos determinar o mdc dos números 12 e 18.
Divisores de 12: D(12) = {2, 3, 6, 12}
Divisores de 18: D(18) = {2, 3, 6, 18}
Divisores comuns de 12 e 18: D(12) ∩ D(18) = {2, 3, 6}
O maior divisor comum de 12 e 18 é igual a 6. Logo: MDC (12, 18) = 6.
 
Processo prático para a determinação do mdc: divisões sucessivas
Uma maneira de determinar o mdc de dois números é dividir o maior pelo menor.
Se o resto da divisão for zero, o mdc corresponde ao valor do número menor.
Exemplo: Vamos determinar o mdc (35, 7).
mdc (35, 7) = 7 
Se o resto não for zero, continua-se o procedimento,
dividindo o menor deles pelo resto da divisão e assim sucessivamente,
até chegar a um resto zero.
O último divisor será o mdc dos números apresentados.
Exemplo: Vamos determinar o mdc (28, 12).
mdc (28, 12) = 4 
 
Processo para determinação do mdc de três ou mais números
Para determinar o mdc de três ou mais números o procedimento é similar.
Exemplo: Vamos determinar o mdc (60, 36, 18).
Determinação do mdc de dois ou mais números por decomposição em fatores primos
Decompomos cada número em seus fatores primos, tomamos os fatores comuns e os
multiplicamos de modo a obter um valor. Esse valor corresponde ao mdc procurado.
Exemplo: Vamos determinar o mdc (24, 60).
 
 
Números primos entre si
Dois ou mais números são primos entre si quando o único divisor comum a todos for o número 1.
Exemplo: Vamos verificar se os números 12 e 35 são primos entre si.
mdc (12, 35) = 1, então 12 e 35 são primos entre si.
 
 
6. Mínimo múltiplo comum (mmc)
O mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números naturais é o menor múltiplo comum, diferente de zero, desses números. Exemplo: Vamos determinar o mmc dos números 4 e 6.
M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 ...}
M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, ...}
M (4) ∩ M (6) = {0, 12, 24, ...}
O menor múltiplo comum não nulo de 4 e 6 é 12.
mmc (4, 6) = 12
 
Processo prático para a determinação do mmc
Decompomos cada número em seus fatores primos e
tomamos os fatores comuns de maior expoente e os não comuns.
O produto obtido corresponde ao mmc desses números.
Exemplo: Vamos determinar o mmc dos números 20 e 24.
Decompondo em seus fatores primos:
24 = 2³ · 3
20 = 2² · 5
mmc (24, 20) = 2³ · 3 · 5 = 120
 
Processo prático para a determinação do mmc de dois ou mais números
Para determinar o mmc de dois ou mais números
podemos decompô-los em fatores primos simultaneamente.
Exemplo: Determinar o mmc dos números 6, 8 e 20.
23 · 3 · 5 = 120
mmc (6, 8, 20) = 120
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