10 – Geometria

Nesta Unidade, você vai estudar algumas ferramentas matemáticas para resolver situações do dia a dia que envolvem Geometria. 
Você deve ter percebido que a presença da Matemática no mundo do trabalho é fundamental. Na última Unidade deste Volume, você terá a oportunidade de analisar a presença da Geometria em situações cotidianas e profissionais. Embora seja praticamente impossível listar aqui todas as profissões que fazem uso da Geometria, é necessário destacar alguns fatores importantes para a resolução de problemas, simples ou complexos, que estão presentes na maioria delas.
O cálculo de distâncias em lugares inacessíveis, como a altura de uma montanha ou a largura de um rio, faz parte de problemas já estudados pelos sábios da Grécia antiga há mais de 2.500 anos. Tales de Mileto (624-543 a.C.) e Pitágoras (582-496 a.C.), por exemplo, fizeram descobertas importantes que são utilizadas até hoje. 
Com o avanço da tecnologia, topógrafos e agrimensores são profissionais capazes de encontrar medidas precisas para montanhas, edifícios e torres, usando ferramentas matemáticas e aparelhos eletrônicos como o teodolito. Alguns dos instrumentos utilizados no século XXI são os mesmos criados pelos geômetras gregos.
1 Figuras congruentes
Neste Tema, você vai se deparar com situações cotidianas e históricas em que será preciso verificar se duas formas geométricas são idênticas ou não. Esse tipo de verificação vai te ajudar a tomar decisões corretas antecipadamente.
  1. Veja o mosaico; com o que se parece?
  2. Faz lembrar paredes ou pisos de pedras? 
  3. Como você pavimentaria uma região plana, usando diversas pedras com formatos diferentes?
Figuras de mesma forma e mesmas medidas
Agora imagine que um pedreiro dispõe de duas placas de pedra para cobrir um buraco formado no mosaico ao lado.
  • Qual é a pedra que se encaixa perfeitamente no buraco? 
  • O que o pedreiro precisa saber sobre a forma da pedra para poder escolher aquela que cobre adequadamente o buraco?
  • A pedra escolhida deve ter a mesma forma e as mesmas medidas do buraco. 
Quando duas figuras geométricas têm a mesma forma e as mesmas medidas, elas são chamadas figuras congruentes. Na prática, pode-se dizer que são figuras planas que podem ser sobrepostas de modo a se encaixar exatamente uma sobre a outra. 
Seguindo essa linha de raciocínio, dois segmentos com medidas iguais são chamados segmentos congruentes, dois ângulos com a mesma medida são ângulos congruentes etc.
No entanto, é possível encontrar figuras que têm características em comum, mas não são congruentes. Por exemplo, o retângulo 2 × 6 e o retângulo 3 × 4, a seguir, têm a mesma área, mas não são congruentes, pois não é possível sobrepor um ao outro de forma que fiquem completamente “encaixados”.
 A ideia de congruência pode ser estendida a qualquer figura plana, então, quaisquer polígonos que tenham a mesma forma e as mesmas medidas (lineares e angulares) são congruentes.
Triângulos congruentes
Qualquer carpinteiro experiente sabe como construir portões de madeira que fiquem firmes. Portões construídos apenas com ripas paralelas e perpendiculares não têm estabilidade e podem se inclinar. Para resolver o problema, os carpinteiros colocam uma ripa na diagonal, o que imprime firmeza ao portão. O que garante que isso funcione é a rigidez do triângulo, característica exclusiva entre esses polígonos.
Desigualdade triangular
Para que um triângulo possa existir, é necessário que a soma das medidas de dois de seus lados seja maior que a do terceiro lado.
Observe a figura apresentada anteriormente. Já que a + b < c, os dois arcos de circunferência não têm ponto de intersecção, ou seja, se o terceiro vértice não pode ser determinado, o triângulo não pode existir.
Aplicações da rigidez do triângulo no mundo do trabalho
A rigidez dos triângulos é uma das propriedades geométricas mais importantes. É usada na construção de estruturas de edifícios, coberturas, pontes, torres etc.
Vigas de telhado
Essas estruturas são trianguladas para garantir a estabilidade do telhado.
Paredes e muros
A triangulação também é usada para a construção de paredes resistentes. Nas cidades da região Sul do Brasil, por exemplo, ela é muito comum em casas que adotam o estilo enxaimel da arquitetura alemã. É o caso de Blumenau (SC).
Pontes, torres, coberturas e suportes
A rigidez do triângulo também é usada em treliças tridimensionais, cuja estrutura é utilizada para dar suporte a pontes, coberturas, torres etc. Além disso, a triangulação é utilizada em suportes tridimensionais de quiosques de estabelecimentos comerciais.
Casos de congruência 
Já foi visto que, para garantir a estabilidade de um telhado, é preciso utilizar triângulos, pois sua rigidez proporciona uma estrutura estável.
Ao observar a figura abaixo, você vê uma estrutura que possui vários triângulos de diversos formatos. Será que é possível, em uma construção como essa, utilizar triângulos de qualquer formato, ou é preciso ter um padrão?
Casos de congruência 
Já foi visto que, para garantir a estabilidade de um telhado, é preciso utilizar triângulos, pois sua rigidez proporciona uma estrutura estável.
Ao observar a figura abaixo, você vê uma estrutura que possui vários triângulos de diversos formatos. Será que é possível, em uma construção como essa, utilizar triângulos de qualquer formato, ou é preciso ter um padrão?
  • Veja, nesse projeto, os triângulos AHF e DIG (ambos em vermelho) e observe que os ângulos H e I são iguais a 90° e que AH = ID = 80 cm e HF = IG = 60 cm.
Esse é um caso conhecido de congruência de triângulos, o LAL (lado-ângulo-lado), em que dois lados têm a mesma medida e o ângulo formado por eles também. Se o ΔAHF e o ΔDIG têm AH = ID, HF = IG e AHF = DIG, então eles são congruentes. Assim, é possível concluir que AF = GD. 
  • Se você observar os triângulos EFC e EGC, vai notar que os segmentos  FE = GE = CG = FC = 1 m e EC = 1,2m é comum.
Esse caso de congruência de triângulos é conhecido como LLL (lado-lado-lado), em que as medidas dos lados correspondentes entre os triângulos são iguais, ou seja, 
FE = GE
FC = GC
EC é comum
Nessas condições, conclui-se que os ΔEFC e ΔEGC são congruentes.
  • Por fim, observe os triângulos CHF e CIG, nos quais já foi visto que FC = GC. Além disso, tem-se neste projeto que os ângulos HFC = IGC = 53° e FCH = ICG = 37°. Nessas condições, tem-se que esses triângulos são congruentes pelo caso ALA (ângulo-lado-ângulo).
Uma aplicação engenhosa
Na Grécia antiga, devido às constantes ameaças de invasão, matemáticos inventaram aparelhos para fins militares. Conta uma lenda que, no século III a.C., Arquimedes criou um sistema de espelhos inclinados para que a luz do Sol queimasse os navios inimigos durante as guerras.
Alguns séculos antes de Arquimedes, outro matemático grego, Tales de Mileto, desenvolveu um método para calcular a distância de um navio em relação à praia, sem a necessidade de realizar uma medição direta.
Há muitos livros, sites e filmes sobre as guerras que ocorreram na Grécia antiga. Um deles é Ágora (direção de Alejandro
Amenábar, 2009), filme que narra a vida da egípcia Hipátia (355415), considerada a primeira matemática da história.
A estratégia de Tales é bastante engenhosa, pois utiliza uma característica de dois triângulos congruentes chamada ALA (ângulo-lado-ângulo).
Quadriláteros
Os quadriláteros são polígonos de quatro lados. O retângulo, por exemplo, é um dos mais comuns, pois está presente no formato de papéis, portas, janelas, paredes, mesas etc. 
Características dos quadriláteros
Diferentemente dos triângulos, os quadriláteros não são estruturas rígidas. É possível formar diferentes quadriláteros com as mesmas medidas de lado.
Esses quadriláteros têm lados com as mesmas medidas, mas seus ângulos e formatos são diferentes.
Paralelogramos
O paralelogramo é muito utilizado em sistemas articulados, cujas estruturas precisam manter o paralelismo. Está presente na estrutura das balanças de prato, grelhas de fornos, no limpador de para-brisas, nas janelas do tipo basculante, nas persianas, em brinquedos de parques etc.
Losangos 
Losangos são paralelogramos cujos lados têm a mesma medida. Por ser um paralelogramo, os lados opostos de um losango são paralelos. 
Os losangos são encontrados na estrutura de mecanismos como cabides e macacos de carros (ferramentas utilizadas para efetuar a troca de pneus). No mecanismo do macaco de carro, há uma manivela que faz diminuir ou aumentar o comprimento da diagonal vertical do losango, o que provoca a variação dos ângulos internos e da medida da outra diagonal, fazendo que o carro possa ser levantado e abaixado. 
O retângulo na construção de casas na África 
Em algumas aldeias de Moçambique – país que fica no sul da África –, para construir casas de base retangular, alguns construtores cortam quatro troncos com dois comprimentos diferentes. Para medir as diagonais do quadrilátero, usam uma corda. Se elas têm o mesmo comprimento, eles sabem que a base da casa é um retângulo.
Com diagonais diferentes, o quadrilátero não é um retângulo.   Com diagonais iguais, o quadrilátero é um retângulo. Ao utilizar a corda para verificar se as diagonais têm o mesmo comprimento e se, portanto, a planta é retangular, os moçambicanos estão, na verdade, fazendo uso do princípio da rigidez do triângulo, pois os demais polígonos não são rígidos.
Se você pretende fixar a forma de um polígono por meio de materiais, é preciso triangular.
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