2 – Operações em Z

Adição de dois números inteiros de mesmo sinal
1) Vamos calcular (+3) + (+5). Na reta numérica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a direita e, desse ponto, deslocamos mais 5 unidades também para a direita, uma vez que os números são positivos.
               ____+3____|_____+5________ 
  < ---|---|----|----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---->
   …-4  -3   -2   -1   0    1   2   3   4   5   6  7   8   9
              | ___________+8___________|
Então: (+3) + (+5) = +8 = 8 
 
2) Vamos calcular (–3) + (–5).
Na reta numérica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a esquerda e, desse ponto, deslocamos mais 5 unidades também para a esquerda, uma vez que os números são negativos.
               __                    __- 5____|_____-3___
  < ---|----|----|----|---|---|---|---|----|----|---|---|---|---|---->
   …-7   -6   -5   -4  -3  -2  -1   0    1     2  3   4   5   6   
                       |___________-8_____________|
 
Então: (–3) + (–5) = –8 
 
• Na adição de números inteiros de mesmo sinal, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal comum.
 
Adição de dois números inteiros de sinais diferentes
1) Vamos calcular (–3) + (+7). 
Na reta numérica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a esquerda e, desse ponto, deslocamos mais 7 unidades para a direita; uma vez que o primeiro número é negativo e o segundo, positivo:
 
                                      |_________+7__________|
                                      |   __+ 3__ |
< ---|----|----|----|---|---|---|---|----|----|---|---|---|---|---->
   …-7    -6 -5   -4 -3 -2    -1 0 1 2    3 4 5 6   
                                                            |______+4____|
 
Então: (–3) + (+7) = +4 = 4 
2) Vamos calcular (+3) + (–7). 
Na reta numérica, partindo do zero (origem), deslocamos 3 unidades para a direita e, desse ponto, deslocamos 7 unidades para a esquerda, uma vez que o primeiro número é positivo e o segundo, negativo.
                                |       __               __-7___|
                                                          |_____+3__|
< ---|----|----|----|---|---|---|---|----|----|---|---|---|---|---->
   …-7    -6 -5   -4 -3 -2    -1 0 1 2    3 4 5 6   
                                |_____-4____|                              
Então: (+3) + (–7) = –4
• Na adição de números inteiros de sinais diferentes, calculamos a diferença entre o número maior e o menor, e atribuímos o sinal do número maior ao resultado. A adição de mais de dois números inteiros de sinais diferentes deve ser feita por agrupamento. Exemplo: 
(+3)+(–5) + (–7) =
    \    /
 = (–2) + (–7) = –9
Subtração de dois números inteiros
  • Para eliminar os parênteses que vem depois do sinal negativo (–) trocamos o sinal do número de dentro dos parênteses. 
Exemplo: (+8) – (+2) = +8 – 2 = +8 –2 = +6 = 6  
  • Para obter a diferença entre dois números inteiros, adicionamos ao primeiro o oposto do segundo.
Exemplos: 
a) (+5) – (–3) = +5 + 3 = +8 = 8 
b) (–4) – (+1) = –4 –1 = –5 
c) (+3) – (–2) + (+7) = 
= +3 + 2 + 7 = 5 + 7 = 12 
Resolução de expressões numéricas
Na resolução de expressões numéricas em que aparecem parênteses, colchetes e chaves, efetuamos as operações na seguinte ordem:
1º: resolvemos o que está nos parênteses, eliminando-os.
2º: resolvemos o que está nos colchetes, eliminando-os.
3º: resolvemos o que está nas chaves.
Exemplos:
 
a) 7 – (–8) =
 = 7 + 8 =
 = 15
b) – [4 + (3 – 8) – 9] =
 = –[4 + (–5) – 9] =
 = –[4 – 5 – 9] =
 = –[–10] =
 = +10 = 10
c) {–5 + [7 – (3 + 1) – 10] + 2} =
 = {–5 + [7 – (+4) – 10] + 2} =
 = {–5 + [7 – 4 – 10] + 2} =
 = {–5 + [–7] + 2} =
 = {–5 – 7 + 2} =
 = {– 10} = –10
Multiplicação de dois números inteiros
  • Quando os dois números têm sinais iguais: o produto é sempre um número positivo. Seu valor absoluto é igual ao produto dos números dados sem o sinal. Exemplos:
(+5) × (+2) = 5 · 2 = 10
(–1) × (–4) = + (1 × 4) = +4
  • Quando os dois números têm sinais diferentes: o produto é sempre um número negativo. Seu valor absoluto é igual ao produto dos números dados sem o sinal. Exemplos:
(–3) · (+2) = – (3 · 2) = –6
(+2) · (–4) = – (2 · 4) = –8
 
Multiplicação com mais de 2 fatores
Na multiplicação de mais de dois números inteiros, multiplicamos por agrupamento. 
Exemplos:
•  (–3) ∙ (–5) ∙ (4) ∙ (–2) ∙ (–1) ∙ (5) =
       \ /           \ / \     /
      =  (15)  ∙    (–8)   ∙  (–5) =
            \ /
             =   (–120)    ∙    (–5) =
                        = 600
 
•  (–3) ∙ (–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–1) =
         \ /
     = (+15) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–1) =
                 \     /
           =  (+60) ∙ (–2) ∙ (–1) =
                     \      /
               = (–120) ∙ (–1)
                           \      /
                      = +120 = 120
 
•  (+2) ∙ (+3) ∙ (–1) ∙ (–2) ∙ (–1) =
         \ /
       = (+6) ∙ (–1) ∙ (–2) ∙ (–1) =
              \ /
          =  (–6) ∙ (–2) ∙ (–1) =
                  \ /
               = (+12) ∙ (–1) =
                        \ /
                     = –12
 
Propriedade distributiva da multiplicação
Exemplos:
a) (–2) · (5 + 3) =
  = (–2) · (+5) + (–2) · (+3) =
  = –10 + (–6) = –10 – 6 = –10 + (–6) =
  = –16
 
b) (–3) · (7 – 9) =
  = (–3) · (+7) + (–3) · (–9) =
  = –21 + (+27) = –21 + 27 = +6 = 6
Divisão de dois números inteiros
Para a divisão de inteiros, valem as mesmas regras de sinais da multiplicação. 
Sinais iguais: o quociente é um número positivo. Seu valor absoluto é igual ao quociente dos números dados sem o sinal. Exemplos:
•(+10) ÷ (+2) = +5
•(–4) ÷ (–2) = +2
Sinais diferentes: o quociente é um número negativo. Seu valor absoluto é igual ao quociente dos números dados sem o sinal. Exemplos:
•(+4) ÷ (–2) = –2
•(–8) ÷ (+8) = –1
Expressões numéricas
Na resolução de expressões numéricas em que aparecem parênteses, colchetes e chaves, resolvemos primeiro o que está nos parênteses, depois o que está nos colchetes, e por fim, o que está nas chaves. Quanto às operações, resolvemos primeiro as multiplicações e divisões, depois as adições e subtrações.
Exemplos.
 
   –3 + 7 · (–2) =
= –3 + (–14) =
= –3 – 14 = –17
 
   20 ÷ (–2 – 8) + 3 =
= 20 ÷ (–10) + 3 =
= –2 + 3 = 1
 
   [18 – (3 + 10 ÷ (–2) + 5)] =
= [18 – (3 – 5 + 5)] =
= [18 – (+3)] =
= [18 – 3] = 15
 
Potenciação de números inteiros
• Quando a base é positiva: sendo o expoente par ou ímpar, o valor da potência é sempre positivo. Exemplo:
         expoente par  
               |
  •  (+3)² = (+3) · (+3) = +9
            |                              |
         base                      potência
  expoente ímpar
          |                       
• (+4)³ = (+4) · (+4) · (+4) = +64 
       |                                         |
    base                                  potência
• Quando a base é negativa: se o expoente for par, a potência é positiva. Se o expoente for ímpar, a potência é negativa. Exemplos: 
    expoente par  
          |
•  (–3)² = (–3) · (–3) = +9 
      |                               |
    base                      potência
  expoente ímpar 
         |
• (–4)³ = (–4) · (–4) · (–4) = –64 
      |                                        |
   base                                  potência
 
Expressões numéricas com potências
Nas expressões numéricas em que aparecem as quatro operações, mais a potenciação, resolvemos primeiro as potências, seguido das multiplicações e divisões, e por fim as adições e subtrações.
       (–10)² ÷ 20 + 4 =
           | 
  = (+100) ÷ 20 + 4 =
            \    /
         = +5 + 4 = +9
    (–2)⁴ ÷ (–4)² – 3 =
       |          | 
= (+16) ÷ (+16) – 3 =
           \    /
        = (+1) – 3 =
        = +1 – 3 = –2
 
Propriedades da potenciação 
Multiplicação: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
(–3)² · (–3)² = (–3)² + 3 = (–3)⁵ 
 
Divisão: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
(–5)⁵ ÷ (–5)² = (–5)⁵ – 3 = (–5)² 
 
Potência de uma potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
[(+2)² ]² = (+2)² × 2 = (+2)⁶ = 2⁶
 
Potência com expoente zero, e base não-nula: é sempre igual a 1. 
9⁰ = 1
 
Potência de um produto
Para efetuar a potência de um produto, basta elevar cada fator ao expoente do produto. Exemplos:
 
a) [(–2) · (+3)]³ =
 = [(–2) · (+3)] · [(–2) · (+3)] =
 = (–2)³  · (+3)³
 
b) [(–5) · (–8)]³ =
  = (–5)³· (–8)³
 
c)  [(–2)³ · (+3)⁴]² =
  = [(–2)³]² · [(+3)⁴]²
  = (–2)⁶ · (+3)⁸
 
Raiz quadrada de um número inteiro
Raiz quadrada de números inteiros positivos
√25 = √(±5)² = |±5| = 5
Assim, √25 = 5, pois 5² = 5 × 5 = 25
 
Atenção!
Não há raiz quadrada de números inteiros negativos, pois não existe um número inteiro que, multiplicado por ele mesmo, resulte um número negativo.
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