10 - EQUAÇÃO FRACIONÁRIA

A equação fracionária diferencia-se das demais equações pelo fato de que pelo menos um dos termos é uma fração algébrica, isto é, a incógnita aparece no denominador de uma fração.
Uma fração jamais pode ter denominador zero (nulo), por isso, sempre que vamos resolver uma equação fracionária, devemos analisar os denominadores para verificar em quais casos a equação não é definida.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1:
2 = x – 1
x    x + 2
Nesse caso, os denominadores devem ser diferentes de zero, portanto, podemos dizer que:
x ≠ 0 e x ≠ -2
Para resolver a equação fracionária, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores. Feito isso, vamos dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo seu respectivo denominador:
2(x + 2) = x(x – 1)
x(x + 2)    x(x +2)
Como ambos os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com:
2(x + 2) = x(x – 1)
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
2x + 4 = x2 – x
Colocando os termos em ordem de um mesmo lado da equação, teremos montada uma equação de segundo grau:
x2 – 3x – 4 = 0
Essa equação possui coeficientes a = 1, b = – 3 e c = – 4. Vamos resolver a equação através da fórmula de Bhaskara:
x = –b ± √[b² – 4ac]
            2a
x = –(–3) ± √[(–3)² – 4.1.(–4)]
     2.1
x = +3 ± √[9 + 16]
     2
x = 3 ± √25
      2
x = 3 ± 5
       2
x' = 3 + 5 = 8 = 4
   2       2
x'' = 3 – 5 = – 2 = –1
 2        2
Portanto, os resultados possíveis são: x = 4 e x = – 1.
Exemplo 2:
3 = 5 + 1
2    x    5
Para essa equação, em razão da presença do x no denominador, temos a restrição de que x ≠ 0.
Para iniciarmos a resolução desse exemplo, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores 2, 5 e x, que é 10x. Vamos então dividir esse termo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador:
3.5x = 10.5 + 2x.1
10x           10x     
Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com:
3.5x = 10.5 + 2x.1
Resolvendo a equação, temos:
15x = 50 + 2x
15x – 2x = 50
13x = 50
x = 50
     13
Portanto, o resultado da equação é 50/13.
Exemplo 3:
   2    +    1    +     2    =     1    
  x        x–2        x+2       x2–4
Vejamos para quais valores de x a equação não está definida:
x ≠ 0
x–2 ≠ 0 → x ≠ 2
x+2 ≠ 0 → x ≠ 2
x2 – 4 ≠ 0 → x2 ≠ 4 → x ≠ 2√4 → x ≠ ±2
Vamos fatorar o último denominador a fim de facilitar nossos cálculos posteriores:
   2    +    1    +     2    =      1     
    x         x–2       x+2    (x+2)(x–2)
Agora é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e, em seguida, dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador:
2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) =        1x       
                x(x+2)(x–2)                       x(x+2)(x–2)
Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, restando apenas:
2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) = 1x
2(x2–4) +1x.(x+2) + 2x.(x–2) – x = 0
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
2x2 – 8 + x2 + 2x + 2x2 – 4x – x = 0
5x2 – 3x – 8 = 0
Para resolver essa equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara, lembrando que os coeficientes dessa equação são: a = 5, b = – 3 e c = – 8.
x = –b ± √[b² – 4ac]
      2a
x = –(–3) ± √[(–3)² – 4.5.(–8)]
       2.5
x = 3 ± √[9 + 160]
     10
x'= 3 ± √169
      10
x = 3 ± 13
     10
 
x' = 3 +13
      10
x' = 16
      10
x' = 1,6
 
x'' = 3 – 13
       10
x'' = – 10
        10
x'' = – 1
Os resultados possíveis para x são: 1,6 e – 1
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