2 - Propriedades da multiplicação dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z e é formado por termos positivos e negativos. Veja um exemplo:
Z = {...- 4, - 3, - 2, - 1, 0 , + 1, + 2, + 3, + 4 …}
Podemos realizar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) com os números que compõem esse conjunto. Observe alguns exemplos:
→ ADIÇÃO/ SUBTRAÇÃO
  • + 4 + 2 = + 6 → Sinais iguais na adição / subtração: conserva o sinal e soma os números.
  • – 4 – 2 = – 6 → Sinais iguais na adição / subtração: conserva o sinal e soma os números.
  • + 4 – 2 = + 2 → Sinais diferentes na adição / subtração: conserva o sinal que acompanha o maior número em módulo e subtrai os termos numéricos.
  • - 4 + 2 = - 2 → Sinais diferentes na adição / subtração: conserva o sinal que acompanha o maior número em módulo e subtrai os termos numéricos.
→ MULTIPLICAÇÃO
  • (- 4) . (+ 2) = - 8 → Sinais diferentes na multiplicação resultam em sinal negativo e multiplicação dos termos numéricos.
  • (+ 4) . (- 2) = - 8 → Sinais diferentes na multiplicação resultam em sinal negativo e multiplicação dos termos numéricos.
  • (- 4) . (- 2) = +8 → Sinais iguais na multiplicação resultam em sinal positivo e multiplicação dos termos numéricos.
  • (+ 4) . (+ 2) = + 8 → Sinais iguais na multiplicação resultam em sinal positivo e multiplicação dos termos numéricos.
→ DIVISÃO
  • (- 4) : (+ 2) = - 2 → Sinais diferentes na divisão resultam em sinal negativo e divisão dos termos numéricos.
  • (+ 4) : (- 2) = - 2 → Sinais diferentes na divisão resultam em sinal negativo e divisão dos termos numéricos.
  • (- 4) : (- 2) = + 2 → Sinais iguais na divisão resultam em sinal positivo e divisão dos termos numéricos.
  • (+ 4) : (+ 2) = + 2 → Sinais iguais na divisão resultam em sinal positivo e divisão dos termos numéricos.
Propriedades da multiplicação
Em relação à multiplicação, temos quatro propriedades para os números inteiros, que são:
⇒ Propriedade Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto (resultado). No exemplo abaixo, – 3 e + 5 são os fatores.
 
(- 3) . (+ 5) = - 15
(+ 5) . (- 3) = - 15
⇒ Propriedade Associativa: A associação dos fatores não modifica o produto. Os fatores no exemplo a seguir são: - 3, + 5 e - 2.
(- 3 . + 5) . - 2 = (- 15) . ( - 2) = + 30
- 3 . (+ 5 . - 2) = (- 3) . ( - 10) = + 30
⇒ Elemento Neutro: Na multiplicação, o elemento neutro é o número 1. Qualquer número multiplicado por 1 resulta nele mesmo. Nesse caso, um dos fatores sempre será o número + 1. Veja exemplos:
(+ 8) . (+ 1) = + 8
(- 100) . (+ 1) = - 100
⇒ Propriedade distributiva: Realizamos o produto do termo externo ao parênteses com os termos internos do parênteses. Observe os exemplos abaixo:
(- 2) . [( (+ 3) + (+ 4)] =
= (- 2) . (+ 3) + (- 2) . (+ 4) =
= (- 6) + (- 8) =
Em + (- 8), devemos realizar o produto de + 1 . (- 8) = - 8
= – 6 – 8 =
= – 14
[(+ 5) - (– 6)] . (+ 2) =
= (+ 5) . (+ 2) - (- 6) . (+ 2) =
= (+ 10) - (- 12) =
Em - (- 12), devemos realizar o produto de – 1 . (- 12) = + 12
= + 10 + 12 =
= + 22
Fórmula geral das propriedades
Considere que a, b, c representam qualquer termo numérico ou algébrico.
Comutativa: a . b = b . a
Associativa: (a . b) . c = a . (b . c)
Elemento neutro: a . 1 = a
Distributiva na adição: a . (b + c) = a . b + a . c
Distributiva na subtração: a . (b – c) = a . b – a . c
 
 
 
É de grande importância o conhecimento das propriedades das potenciações, principalmente nas situações operatórias entre potências. As regras claras e objetivas são válidas também nos casos envolvendo funções exponenciais, y = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Observe as regras e as aplicações das propriedades:

1) am * an = am + n
Multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

2) am : an = am – n
Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.

3) (am)n = am * n
Potência de potência, multiplicar os expoentes.

4) 
Potência com expoente racional: o expoente do radicando se transforma no numerador do expoente da base fora da raiz, e o índice da raiz passa a ser o denominador.

5)a–n = 1/an, a ≠ 0
Potência com expoente negativo: inverso da base elevado ao expoente positivo.

6) a0 = 1
Toda base diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1.

7) se a > 0 e a ≠ 0, temos am = an apenas se m = n.


Exemplos

a) 42 * 43 = 42 + 3 = 45

b) 104 : 102 = 104 – 2 = 102
c) (63)2 = 63*2 = 66

d) 

e)2–2 = (1/2)2 = 1/4

f) 32 * 33 : 34 = 32 + 3 – 4 = 31

g) 2–2 : 26 = 2– 2 – 6 = 2–8 = (1/2)8 = 1/256

h) 10000 = 1

i) ((72)3)4 = 7 2*3*4 = 724

j) 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4
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